国際宇宙ステーション、地球軌道周回10万回を達成

国際宇宙ステーション〔AFPBB News

無限のたし算の風景

 Σの呪縛を解くシリーズ第3弾のテーマは無限です。シリーズ第1弾と第2弾は有限項の数列の和について見てきました。Σの公式から見えてくるのは、いくつもの項の和が1つの式にまとまる風景です。

 たとえ100万項のたし算でもΣ記号のおかげで1つの式で表すことができる軽快さ、そして公式のnに1000000を代入しさえすれば和が一発で得られる爽快さです。

 ここから無限の項のたし算に踏み込んでいきます。Σ記号の上に無限を表す∞記号がある風景です。実はすでに連載で無限のたし算は3つ取り上げています。π、ゼータ関数、そしてマクローリン級数です。

 連載「驚異の数、円周率 πの世界~現代に甦るラマヌジャンの公式」では円周率πを表す数式を紹介しました。

 マチンの公式(1706年)、高野喜久雄の公式(1982年)、ラマヌジャンの公式(1914年)、チュドノフスキーの公式(1994年)どれもπ計算の歴史に輝かしい記録を打ち立てた立役者というべき公式ですがすべてΣと∞の数式です。

 連載「宇宙を支えていたのは、驚異のたし算だった」で紹介した無限のたし算は次のようなとんでもないたし算でした。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+…=-1/12

 これがオイラーによるζ(ゼータ)関数の仕業です。私はこれを「ウルトラたし算」と名づけました。常人の理解を超えているという意味です。詳細は連載をぜひ読んでみてください。

 無限項のたし算は無限級数と呼ばれます。πもζも無限級数の姿をしています。

 「電卓はいかに計算しているのか」や「ビッグ・データ時代に対数表を味わう」で紹介したのがマクローリン級数と呼ばれる無限級数です。三角関数、指数関数、対数関数などの関数がΣと∞の数式で表現されます。