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オイラーゼータからリーマンゼータへ

 1859年、リーマンが「素数の個数」を考察することが主題であることを前回紹介しました。

 いよいよ、難攻不落──リーマン予想のど真ん中に進んでいきます。

 リーマンが素数研究のために用いた道具がゼータ関数です。オイラーによって発見されたゼータ関数（オイラーゼータ）はそのままではだめであることにリーマンは気づき、それを発展させることにしました。それが次の結果です。

（1） ゼータ関数ζ（s）は全複素数平面に解析接続される。
（2） ゼータ関数ζ（s）は関数等式を満たす。

 解析接続とは簡単にいえば、実数を定義域とする関数を複素数に対しても定義できるようにする手法のことです。

 たとえば、実数で定義された指数関数xnを複素数zでも成り立つ関数znに解析接続したものはド・モアブルの定理です。

zn=（cosθ+i sinθ）n=cos（nθ）+isin（nθ）

 リーマンはオイラーでさえ覗くことができなかったゼータの新しい風景に到達することに成功しました。解析接続によって複素数平面に舞うゼータの姿を目の当たりにしたのです。

 それでは、いかにしてオイラーゼータが解析接続されるのか、その様子を見ていきます。